Dimostriamo che le funzioni uniformemente continue su insiemi convessi sono pressoché continue di Lipschitz nel senso che f è uniformemente continua se e solo se, per ogni ϵ > 0, esiste un K < ∞, tale che f(y) − f(x) ≤ Ky − x + ϵ. funzioni e funzioni Lipschitz-continue. La continuità uniforme implica la continuità di Lipschitz? La continuità Lipschitziana implica una continuità uniforme. Tutte le funzioni continue sono Lipschitz? Ogni mappa continua di Lipschitz è uniformemente continua, e quindi a maggior ragione continua. In particolare l'insieme di tutte le funzioni di Lipschitz a valori reali su uno spazio metrico compatto X avente costante di Lipschitz ≤ K è un sottoinsieme convesso localmente compatto dello spazio di Banach C(X). Le funzioni continue limitate sono Lipschitz? Funzioni di Lipschitz. La continuità Lipschitziana è una condizione più debole della differenziabilità continua. Una funzione continua di Lipschitz è differenziabile puntualmente quasi ovunque e debolmente differenziabile. La derivata è essenzialmente limitata, ma non necessariamente continua. La funzione è uniformemente continua? In matematica, una funzione f è uniformemente continua se, in parole povere, è possibile garantire che f(x) e f(y) siano vicine l'una all'altra a nostro piacimento richiedendo solo che x e y siano sufficientemente vicine l'una all'altra altro; a differenza della continuità ordinaria, da cui può dipendere la massima distanza tra f(x) e f(y). Come si fa a sapere se un'uniforme è continua? Non eliminare prima questo testo. Siano a,b∈R e siano f:(a,b)→R. Dimostrare che se f è uniformemente continua, allora f è limitata. Dimostrare che se f è continua, limitata e monotona, allora è uniformemente continua....Risposta f(x)=xsin(1x) su (0,1).
f(x)=xx+1 su [0,∞).
f(x)=1|x−1| su (0,1).
f(x)=1|x−2| su (0,1). Quale dei due non è uniformemente continuo? Se f non è uniformemente continua, allora esiste ϵ0 > 0 tale che per ogni δ > 0 ci sono punti x, y ∈ A con |x − y| < δ e |f(x) − f(y)| ≥ϵ0. Scegliendo xn,yn ∈ A uno qualsiasi di tali punti per δ = 1/n, otteniamo le successioni richieste. Come si fa a sapere se una funzione è continua di Lipschitz? Definizione 2 Una funzione f è continua Lipschitziana se esiste un K < ∞ tale che f(y) − f(x) ≤ Ky − x. È facile vedere (e risaputo) che la continuità di Lipschitz è una nozione di continuità più forte della continuità uniforme. Le funzioni di Lipschitz sono limitate? f è Lipschitz, ma non limitato. Tuttavia una funzione Lipschitz è limitata su un dominio limitato. è assolutamente continua rispetto a? Un concetto nella teoria della misura (vedi anche Continuità assoluta). Se μ e ν sono due misure su una σ-algebra B di sottoinsiemi di X, diciamo che ν è assolutamente continua rispetto a μ se ν(A)=0 per ogni A∈B tale che μ(A)=0 ( cp. Cos'è Lipschitz? Una funzione f si dice L-Lipschitz su un insieme S rispetto a una norma ‖·‖ se per ogni u,w∈S abbiamo: Qualcuno dirà equivalentemente che f è continua Lipschitziana con costante Lipschitziana L. Intuitivamente, L è un misura della velocità con cui la funzione può cambiare. Qual è la differenza tra continuo e uniformemente continuo? La differenza tra i concetti di continuità e continuità uniforme riguarda due aspetti: (a) la continuità uniforme è una proprietà di una funzione su un insieme, mentre la continuità è definita per una funzione in un solo punto; Evidentemente, ogni funzione uniformemente continuata è continua ma non inversa. Cosa significa il nome Lipschitz? Il nome deriva dallo slavo "lipa", che significa "tiglio" o "tiglio". Il nome può riferirsi a diversi toponimi: "Liebeschitz", il nome di una città della Boemia, "Leipzig", il nome di una famosa città tedesca, o "Leobschutz", il nome di una città dell'Alta Slesia. Dov'è la costante di Lipschitz? 1 risposta Lo risolverei così: hai che f(x)=e−x2.
Una funzione f:R→R è continua Lipschitziana se esiste una costante L tale che:
|f(x)−f(y)|≤L|x−y|
Poiché il tuo f è differenziabile, puoi usare il teorema del valore medio, f(x)−f(y)x−y≤f′(z)per ogni x