Il primo teorema che Pugh dimostra una volta definito l’integrale di Riemann è che l’integrabilità implica limitatezza. Questo è il Teorema 15 a pagina 155 della mia edizione. Questo dimostra che bisogna prima concordare sulle definizioni.
Riemann integrabile implica limitato?
Teorema 4. Ogni funzione integrabile di Riemann è limitata.
Le funzioni non limitate sono integrabili?
Una funzione illimitata non è integrabile secondo Riemann. Nel seguito, “integrabile” significherà “integrabile di Riemann, e “integrale” significherà “integrale di Riemann” se non diversamente specificato. f(x) = { 1/x se 0 < x ≤ 1, 0 se x = 0. quindi le somme di Riemann superiori di f non sono ben definite. Una funzione integrabile secondo Lebesgue è limitata? Le funzioni misurabili limitate sono equivalenti alle funzioni integrabili di Lebesgue. Se f è una funzione limitata definita su un insieme misurabile E di misura finita. Allora f è misurabile se e solo se f è integrabile secondo Lebesgue. D'altra parte, le funzioni misurabili sono "quasi" continue. Come si fa a sapere se una funzione è integrabile secondo Lebesgue? Se f, g sono funzioni tali che f = g quasi ovunque, allora f è integrabile secondo Lebesgue se e solo se g è integrabile secondo Lebesgue, e gli integrali di f e g sono gli stessi se esistono. Quali funzioni non sono integrabili secondo Lebesgue? La funzione 1/x su R (definita arbitrariamente a 0) è misurabile ma non integrabile secondo Lebesgue. In generale, una funzione è Lebesgue integrabile se e solo se sia la parte positiva che la parte negativa della funzione hanno un integrale finito di Lebesgue, il che non è vero per 1/x. Che tipo di funzioni non sono integrabili? Gli esempi più semplici di funzioni non integrabili sono: nell'intervallo [0, b]; e in qualsiasi intervallo contenente 0. Questi sono intrinsecamente non integrabili, perché l'area che il loro integrale rappresenterebbe è infinita. Ce ne sono anche altri, per i quali l'integrabilità fallisce perché l'integranda salta troppo. Come si fa a sapere se una funzione non è integrabile? Se una funzione è continua su un dato intervallo, è integrabile su quell'intervallo. Inoltre, se una funzione ha solo un numero finito di discontinuità su un dato intervallo, è anche integrabile su quell'intervallo. Sia la funzione y=|x| , ora contiene un punto acuto in x= 0, quindi la funzione non è differenziabile in x=0. Come si dimostra integrabile? Si possono dimostrare tutte le proprietà dell'integrale che sono familiari dal calcolo. Ad esempio, se una funzione f:[a,b]→R è Riemann integrabile sull'intervallo [a,c] e anche sull'intervallo [c,b], allora è integrabile sull'intero intervallo [a,b] e si ha ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx. Ogni funzione integrabile è limitata? Non tutte le funzioni limitate sono integrabili. Ad esempio la funzione f(x)=1 se x è razionale e 0 altrimenti non è integrabile su nessun intervallo [a, b] (controlla qui). Ogni funzione continua è integrabile? Le funzioni continue sono integrabili, ma la continuità non è una condizione necessaria per l'integrabilità. Come illustra il seguente teorema, anche le funzioni con discontinuità di salto possono essere integrabili. Cosa significa per una funzione essere integrabile su un intervallo chiuso? In termini pratici, l'integrabilità dipende dalla continuità: se una funzione è continua su un dato intervallo, è integrabile su quell'intervallo. Ad esempio, la funzione y = |x| contiene un punto acuto in x = 0, quindi la funzione è non differenziabile in questo punto. Tuttavia, la stessa funzione è integrabile per tutti i valori di x. Cosa rappresenta c in un'antiderivata? La notazione usata per rappresentare tutte le primitive di una funzione f( x) è il simbolo di integrale indefinito scritto , dove . La funzione di f( x) è chiamata integranda e C è indicata come costante di integrazione. Perché i due teoremi fondamentali del calcolo sono così importanti? C'è una ragione per cui si chiama Teorema Fondamentale del Calcolo. Non solo stabilisce una relazione tra integrazione e differenziazione, ma garantisce anche che ogni funzione integrabile abbia un'antiderivata. Nello specifico, garantisce che qualsiasi funzione continua abbia un'antiderivata. Una funzione è integrabile? In matematica, una funzione assolutamente integrabile è una funzione il cui valore assoluto è integrabile, il che significa che l'integrale del valore assoluto sull'intero dominio è finito. , cosicché in effetti "assolutamente integrabile" significa la stessa cosa di "integrabile secondo Lebesgue" per le funzioni misurabili. Cosa significa non integrabile? Una funzione non integrabile è quella in cui all'integrale definito non può essere assegnato un valore. Ad esempio la funzione Dirichlet non è integrabile. Non puoi assegnare un numero a quell'integrale. Quando non puoi integrare una funzione? O vuoi dire che l'integrale definito non esiste? Alcune funzioni, come sin(x2) , hanno antiderivate che non hanno formule semplici che coinvolgono un numero finito di funzioni a cui sei abituato dal precalcolo (hanno antiderivate, ma non formule semplici per loro). Qual è il significato di integrabilità? : in grado di essere funzioni integrate integrabili. La funzione di Dirichlet è integrabile? La funzione di Dirichlet è Lebesgue-integrabile su R e il suo integrale su R è zero perché è zero tranne che sull'insieme dei numeri razionali che è trascurabile (per la misura di Lebesgue). Tutte le derivate sono integrabili? La derivata V ′ è limitata ovunque. La derivata non è integrabile secondo Riemann. Ogni funzione Lebesgue è integrabile? Ogni funzione continua f ∈ C[a, b] è integrabile secondo Riemann. f(x)dx = I(f) = I(f). f(x)dx. Nel calcolo elementare vengono introdotti vari integrali di Riemann “impropri” per rilassare i due requisiti (dominio compatto, limitatezza). Quali funzioni sono integrabili secondo Lebesgue? Ora la Proposizione 9 può essere parafrasata come 'Una funzione f : R −→ C è integrabile secondo Lebesgue se e solo se è la somma puntuale a.e. di una serie assolutamente sommabile in Cc(R). ' Riassumibile qui ricorda significa integrabile. Tutte le funzioni continue Lebesgue sono integrabili? Ogni funzione continua è integrabile secondo Riemann, e ogni funzione integrabile secondo Riemann è integrabile secondo Lebesgue, quindi la risposta è no, non ci sono esempi del genere. Cosa ti dice un'antiderivata? Un'antiderivata è una funzione che inverte ciò che fa la derivata. Una funzione ha molte primitive, ma tutte assumono la forma di una funzione più una costante arbitraria. Le antiderivate sono una parte fondamentale degli integrali indefiniti. Cos'è C negli integrali? La notazione usata per rappresentare tutte le primitive di una funzione f( x) è il simbolo di integrale indefinito scritto , dove . La funzione di f( x) è chiamata integranda e C è indicata come costante di integrazione.